3) FUNCIONES NO LINEALES

En los problemas de empresa para la toma de decisiones, es necesario ser lo más precisos posibles puesto que estamos manejando normalmente recursos económicos y depende del buen y eficiente uso que podamos dar a ese uso para poder tener buenos resultados traducidos normalmente en ganancias o utilidades.

Continuando el análisis de los fenómenos económicos, es necesario acercarnos un poco más a la realidad de lo que pasa en los mismos, por este motivo necesitamos pensar y analizar más allá de la línea recta que considera un comportamiento idealizado de los problemas y los fenómenos económicos que podrían pasar; si queremos acercarnos un poco más a lo que pasa en realidad en las empresas, debemos utilizar ecuaciones matemáticas un poco más complejas que muestren el verdadero comportamiento de los fenómenos económicos mencionados anteriormente.

Una herramienta muy útil para ello es emplear las ecuaciones no lineales (circunferencia, elipse e hipérbola) que nos ayudarán a expresar la demanda, oferta o costos, ingreso y utilidad de una manera más cercana a la realidad.

Analizaremos las curvas no lineales partiendo de la ecuación general:

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

Observando ciertas características de la anterior ecuación general y, haciendo operaciones elementales podremos indagar a qué figura representa cierta ecuación de éste tipo para luego encontrar sus características y ubicarla en el plano de forma más precisa.

Por ejemplo, a simple vista la ecuación: x² + y² + 2x + 3y - 5 = 0 pertenece a una circunferencia con centro posicionado en el 3er cuadrante, más allá de estos datos, para más precisión necesitamos hacer algunas operaciones elementales para determinar sus partes principales.

O la siguiente ecuación: y² + 5x + 8y - 4 = 0 que también a simple vista se pude indicar que pertenece a una parábola que se abre hacia la izquierda y tiene de lado recto 5.

A continuación analizaremos cada una de las figuras nombradas y veremos cómo podemos llegar a identificarlas claramente y además indicar si pasa o no por el 1er cuadrante.

CIRCUNFERENCIA:

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano y que conserva una distancia constante a su punto fijo llamado centro; es además una ecuación de segundo grado con dos variables.

De la ecuación general:                      Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

Si:        A = B tanto en valor como en signo es una circunferencia si además F < 0

Ejemplo:

x² + y² - 4x - 10y - 7 = 0

Es con seguridad una circunferencia por las características evaluadas con las constantes A, B y F respectivamente 1, 1 y -7.

Sabiendo que la ecuación representa con seguridad a una circunferencia, nos toca determinar a continuación sus características principales que nos ayudarán a imaginarnos el lugar dónde está circunscrita la misma y si pasa o no por el primer cuadrante que es lo que nos interesa a la hora de aplicar los problemas económico-administrativos.

Para determinar sus características necesitamos conocer su CENTRO y su RADIO que se expresarán en la ecuación general de la circunferencia:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Donde:                                    CENTRO:        (h, k)

                                                RADIO:           r

En nuestro ejemplo:

x² + y² - 4x - 10y - 7 = 0

Separamos las variables x y y:                                    (x² - 4x) + (y² - 10y) = 7

Completamos los trinomios cuadrados:                      (x² - 4x + 4) + (y² - 10y + 25) = 7 + 4 + 25

Encontramos los binomios cuadrados:                       (x - 2)² + (y - 5)² = 36

En su forma general:                                                (x - 2)² + (y - 5)² = 6²

ELIPSE:

Es el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante; es además una ecuación de segundo grado con dos variables.

De la ecuación general:                      Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

Si:        A ≠ B sólo en valor y no en signo es una elipse

Ejemplo:

x² + 9y² - 2x - 36y + 28 = 0

Es con seguridad una elipse por las características evaluadas con las constantes A y B respectivamente 1 y 9 que tienen valores diferentes pero mismo signo.

Sabiendo que la ecuación representa con seguridad a una elipse, nos toca determinar sus características principales que nos ayudarán a imaginarnos el lugar dónde está circunscrita la misma y si pasa o no por el primer cuadrante que es lo que nos interesa a la hora de aplicar los problemas económico-administrativos.

Para determinar sus características necesitamos conocer al menos tres partes: su CENTRO, su SEMIEJE MAYOR y su SEMIEJE MENOR y hacia dónde se extiende más la elipse, que se expresarán en la ecuación general:

Dónde:                                    CENTRO:                               (h, k)

                                                SEMIEJE MAYOR en x:         a

                                                SEMIEJE MENOR en y:         b

             (Siendo la elipse más ancha que alta)

Dónde:                                    CENTRO:                               (h, k)

                                                SEMIEJE MAYOR en y:         a

                                                SEMIEJE MENOR en x:         b

             (Siendo la elipse más alta que ancha)

En nuestro ejemplo:

x² + 9y² - 2x - 36y + 28 = 0

Al ser a > b, se identifica el sentido del lado más extendido de la elipse en el eje x, es decir, la elipse analizada es más ancha que alta.

Se puede observar que no se necesitan más de 3 datos para poder imaginar la elipse e indagar si pasa o no por el primer cuadrante, además de la misma forma que en la circunferencia, es posible saber dónde se encuentra el centro de la elipse sin realizar operaciones, analizando los coeficientes D y E de la ecuación general.

Con otro ejemplo:

4x² + y² - 24x + 4y + 24 = 0

(De antemano se puede afirmar que el centro de la elipse estará en el 4to. cuadrante.)

Al ser b > a, se identifica el sentido del lado más extendido de la elipse en el eje y, es decir, la elipse analizada es más alta que ancha.

PARÁBOLA:

Es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz; es además una ecuación de segundo grado con dos variables.

De la ecuación general:                      Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

Si existe A y E pero no B  es una parábola que se abre hacia arriba o abajo.

Si existe B y D pero no A es una parábola que se abre a la derecha o izquierda.

Para determinar sus características necesitamos conocer al menos dos partes: su VÉRTICE, su LADO RECTO y hacia dónde se abre la parábola, pudiendo ser hacia arriba, abajo, derecha o izquierda. Se expresarán en las siguientes ecuaciones generales:

(x – h)² =  +/- LR (y – k)

                       Donde:                        Vértice:           (h, k)

                                                           Lado Recto:     LR

Parábola que se abre hacia arriba o abajo dependiendo del signo del lado recto.

 (y – k)² =  +/- LR (x – h)

                       Donde:                        Vértice:           (h, k)

                                                           Lado Recto:     LR

Parábola que se abre hacia la derecha o izquierda dependiendo del signo del lado recto.

Ejemplos:

x² + 2x - 36y + 37 = 0

y² - 8x - 8y = 0

En ambos casos por las características y coeficientes de las ecuaciones representan parábolas, el primero una parábola que se abre hacia arriba y el segundo una parábola que se abre hacia la derecha.

Empecemos indicando el porqué; en el primer caso existen los coeficientes A y E pero no B, lo que confirma que es una parábola y se abre hacia arriba o abajo y en el segundo caso, la ecuación presenta B y D pero no A, lo que también supone que sea una parábola que se abre hacia la derecha o izquierda, más adelante analizaremos cómo definimos específicamente hacia dónde se abre cada una de las parábolas.

Sabiendo que las ecuaciones representan con seguridad parábolas, nos toca determinar sus características principales que nos ayudarán a imaginarnos el lugar dónde está circunscrita la misma y si pasa o no por el primer cuadrante que es lo que nos interesa a la hora de aplicar los problemas económico-administrativos.

Para determinar sus características necesitamos conocer al menos dos partes: su VÉRTICE y su LADO RECTO.

1er ejemplo:

x² + 2x - 36y + 37 = 0

Separamos el término cuadrático:                               (x² + 2x) = 36y – 37

Completamos trinomio cuadrado:                               (x² + 2x +1) = 36y – 37 +1

Encontramos binomio cuadrado:                                 (x + 1)² = 36y – 36

Factorizamos el término asociado a variable suelta:   (x + 1)² = 36(y – 1)  

2do ejemplo:

y² - 8x - 8y = 0

Separamos el término cuadrático:                                (y² – 8y) = 8x

Completamos trinomio cuadrado:                                (y² – 8y +16) = 8x +16

Encontramos binomio cuadrado:                                 (y - 4)² = 8x + 16

Factorizamos el término asociado a variable suelta:   (y - 4)² = 8(x + 2) 

Adicionalmente, en ambos ejemplos se puede ver que la distancia entre el vértice y el lado recto siempre será ¼ del valor del lado recto (la cuarta parte del lado recto), a lo que muchos autores le llaman “p”, por consiguiente el lado recto será LR = 4p (cuatro veces p). En el ejemplo el lado recto es 8, entonces la distancia entre el vértice y el lado recto será la cuarta parte de 8 que llega a ser 2.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES NO LINEALES EN PROBLEMAS DE CARÁCTER ECONÓMICO – ADMINISTRATIVO:

De la misma forma que en la línea recta, se pueden analizar determinados fenómenos económicos con las funciones no lineales, ello hace que nos acerquemos un poco más a le realidad de lo que pasa realmente. Veremos algunos ejemplos donde calcularemos lo mismo que se vio en la línea recta.

Análisis del Mercado: Oferta, Demanda y Punto de Equilibrio

Los conceptos de Mercado, Demanda, Oferta y Punto de Equilibrio siguen siendo los mismos que los vistos en la línea recta, la única diferencia es que ya no empleamos únicamente funciones lineales, sino que ahora también utilizaremos curvas o funciones no lineales, principalmente las analizadas previamente (circunferencia, parábola y elipse).

Ejemplo: Un estudio de mercado arrojó las siguientes expresiones matemáticas para una determinada empresa:

q² + p² – 62500 = 0

q – 3p + 450 = 0

Donde q representa la cantidad (unidades)  y p el precio de venta ($/Unidad).

·         Indicar qué ecuación representa a la oferta y cuál a la demanda, ¿por qué?

·         Calcular e interpretar el punto de Equilibrio de Mercado.

·         Qué pasa si se pretende adoptar un Precio de Venta de 180 $/Unidad?

En primer lugar se puede observar por los tipos de ecuaciones, se tiene una circunferencia y una línea recta; la circunferencia tiene como partes: centro en el origen, radio de 250 y con seguridad pasa por el 1er cuadrante, nos interesa el primer cuadrante y en el mismo la circunferencia presenta pendiente negativa, lo que supone que representa la demanda; por otro lado, la línea recta tiene pendiente positiva de 1/3 (lo que supone que representa a la oferta), una intersección con el eje p (vertical) de 150 y también pasa por el 1er cuadrante.

Graficamos las funciones para tener un poco más de idea de su ubicación en el plano y si se cumplen las suposiciones efectuadas en el párrafo anterior de cual representa la demanda y cual la oferta, donde el eje y representa el precio y el eje x representa la cantidad.

Como se observa en el gráfico, en el primer cuadrante que es donde ocurren los fenómenos económicos, la línea recta representa a la oferta y la circunferencia representa la demanda, calculamos ahora el punto de intersección, y para ello podemos usar cualquier método de resolución de 2 ecuaciones con dos incógnitas, para el caso emplearemos el método de sustitución.

Demanda:                                q² + p² – 62500 = 0     (I)

Oferta:                                      q – 3p + 450 = 0         (II)

Despejamos de II:                   q = 3p – 450               (III)

Reemplazamos en I:               (3p – 450)² + p² – 62500 = 0

Desarrollando binomio:          9p² – 2700p + 202500 + p² – 62500 = 0

Ecuación de 2do grado:          10p² – 2700p + 140000 = 0

Resolvemos Ecuación:            p₁ = 200          p₂ = 70            (resultados válidos para el precio)

Reemplazamos p₁ en III:         q₁ = 150 (resultado válido para la cantidad)

Reemplazamos p₂ en III:         q₂ = -240 (resultado no válido para la cantidad)

Entonces el punto de Equilibrio se encuentra en el punto:

Precio de Equilibrio:              p_eq = 200 $/Unidad

Cantidad de Equilibrio:          q_eq = 150 Unidades.

La interpretación del punto de equilibrio es: el precio y la cantidad en la que están de acuerdo tanto ofertantes como demandantes, o más detalladamente, desde el punto de vista de los ofertantes: si el precio de venta es de 200 $/Unidad, están dispuestos a ofrecer en el mercado 150 Unidades de su producto; y desde el punto de vista de los demandantes: si el precio es de 200 $/Unidad, los demandantes están dispuestos a consumir 150 unidades de ese producto. Ambos actores están de acuerdo.

Si se pretende adoptar un precio de venta de 180 $/Unidad que está por debajo del precio de equilibrio, se puede también interpretar desde 2 puntos de vista:

·         Desde la óptica del demandante o consumidor, es lógico que quieran consumir más de ese producto si el precio está por debajo del precio de equilibrio.

·         Desde la óptica del ofertante, también es lógico que ofrezca menor cantidad que la ofrecida cuando el precio es mayor.

Para calcular esos datos según el comportamiento, se reemplaza el dato del precio en las correspondientes ecuaciones tanto de oferta como de demanda y se calcula la cantidad:

En la ecuación de Demanda:              q² + p² – 62500 = 0

Reemplazamos p = 180:                     q² + 180² – 62500 = 0

Encontramos cantidad demandada:    q = 173.49,    se asume    q = 174 Unidades

En la ecuación de Oferta:                   q – 3p + 450 = 0

Reemplazamos p = 180:                     q – 3(180) + 450 = 0

Encontramos cantidad ofertada:                     q = 90 unidades

Entonces, en conclusión, si se adopta un precio de 180 $/Unidad, se ofertarán 90 unidades y se demandarán 174 unidades.

Rompiendo el equilibrio de mercado, cada participante (ofertante y demandante) jalará para su lado a su conveniencia, es por eso que a un precio de 180 $/Unidad, los demandantes querrán consumir más de ese producto y los ofertantes querrán ofrecer menos de su producto.

Análisis del Costo - Ingreso - Utilidad

De la misma forma que en el análisis de mercado, los conceptos asociados al costo, ingreso y utilidad siguen siendo los mismos que los vistos en la línea recta, la diferencia es que tampoco empleamos únicamente funciones lineales, sino que ahora también utilizaremos curvas o funciones no lineales, principalmente la parábola.

Ejemplo: Una empresa tiene los siguientes datos:

Costo Fijo = 4000 $

Costo Variable = 0.05 q² + 5 q                                   q (=) Unidades

Precio de Venta = 50 $/Unidad

Determinar:

a)      La ecuación de Utilidad para esta empresa en las condiciones anteriores.

b)      ¿Cuánto deberá producir esta empresa para no ganar ni perder?

c)      ¿Cuál será su Utilidad o Ganancia al producir 50 unidades?

d)      ¿Cuál será su Utilidad o Ganancia al producir 650 unidades?

e)      ¿Cuál será su Utilidad o Ganancia al producir 950 unidades?

Para encontrar la ecuación de utilidad, necesitamos el costo total y el ingreso total, entonces es lo que debemos deducir inicialmente con los datos con los que se cuenta:

Costo Total:                CT = CV + CF

CT = 0.05 q² + 5 q + 4000

Ingreso Total:              IT = Pv ∙ q

IT = 50 q

El gráfico anterior muestra las ecuaciones de Costo Total e Ingreso, en el gráfico se pueden observar 3 zonas importantes: dos zonas de pérdida donde los costos son mayores a los ingresos y una zona de ganancia donde los ingresos son mayores a los costos; entonces con la ayuda del gráfico se puede tener una idea del comportamiento de estas variables en el problema, posteriormente calcularemos con exactitud las zonas mencionadas. También se muestran 2 puntos de intersección entre las dos ecuaciones, lo que se verá también un poco más adelante.

Corresponde encontrar la ecuación de Utilidad para el ejemplo:

Utilidad:          U = IT – CT

U = (50 q) – (0.05 q² + 5 q + 4000)

U = 50q – 0.05 q² – 5 q – 4000

U = – 0.05 q² + 45 q – 4000

Teniendo la ecuación de utilidad, con ésta ecuación debemos calcular cuánto deberá producir esta empresa para no ganar ni perder, entonces lo que se desea es que la utilidad de esta empresa sea = 0, entonces se plantea una ecuación de 2do grado:

– 0.05 q² + 45 q – 4000 = 0

Resolviendo:               q₁ = 100 Unidades                  q₂ = 800 Unidades

De donde se concluye en esta parte que para no ganar ni perder, o para que sus costos sean igual que sus ingresos, se deberán producir y vender 100 unidades u 800 unidades.

Otro análisis que se puede realizar aprovechando estos datos, es que si vende menos de 100 unidades no tendrá ganancia, si vende entre 100 y 800 unidades tendrá ganancia y, si vende más de 800 unidades nuevamente tendrá pérdida; esto nos ayuda principalmente en determinar los objetivos de la empresa en cuanto a producción y ventas.

Para calcular las utilidades exactas en diferentes casos o escenarios, lo único que se debe hacer es reemplazar las cantidades en la ecuación de utilidad, podemos ayudarnos un poco con el gráfico que nos muestra más o menos cuánto será dichas utilidades.

U = – 0.05 q² + 45 q – 4000

Para una cantidad de 50 unidades:     U = – 0.05 (50)² + 45 (50) – 4000

U = - 1875 $               (pérdida)

Para una cantidad de 650 unidades:   U = – 0.05 (650)² + 45 (650) – 4000

U = 4125 $                  (ganancia)

Para una cantidad de 950 unidades:   U = – 0.05 (950)² + 45 (950) – 4000

U = - 6375 $               (pérdida)

Este análisis también se puede realizar con la ecuación de Utilidad = – 0.05 q² + 45 q – 4000 donde se pueden observar todos los puntos calculados anteriormente: